1から2007までかけたとき、一の位から0が何個連続するか

　東大合格者が多いですよって中学の入試問題？で「1から2007までかけたとき、一の位から0が何個連続するか」ってのを、タケシさんと安住さんが出ているニュース番組で紹介していた。のでちょっと考えてみた。

　って証明の足がかりと、答え自体は番組で言っていたんだけど素因数分解を使うとのこと。
一の位、十の位、百の位と0が続くって事は、それは10をかけている事である。
ので、10について考えると10は[2,5]に素因数分解できるので、結局は1から2007までの2と5の素数のセットが何組含まれているかに帰結する。

で、番組では回答として「5の素数にだけ注目した解法」*1を紹介していたので、2の素数については良いの？とか思ったけど、アホラシイ＾＾；

そら、整数において5の倍数より、2の倍数が多いでしょうから

$\begin{eqnarray} \prod_{k=1}^{2007} k &=& 2^a \times 3^b \times 5^c \cdots \\ &=& (a,b,c,\cdots) \end{eqnarray}$

とき、

$a > c$

ですね。そりゃね。

例示

まず、素因数分解した1から20までの素因数分解表を示すと
$1,\\2,\\3,\\2\cdot2,\\5,\\2\cdot3,\\7,\\2\cdot2\cdot2,\\3\cdot3,\\2\cdot5,\\11,\\2\cdot2\cdot3,\\13,\\2\cdot7,\\3\cdot5,\\2\cdot2\cdot2\cdot2,\\17,\\2\cdot3\cdot3,\\19,\\2\cdot2\cdot5$

こんな形ですね。

$\prod_{k=1}^{n} k$

で、n=14の場合は、14までに5の素数が2個ですから下二桁が0がでしょう。
(1..14).inject(1){|s,n| s*n} //=>87178291200
はい、***00で、連続する0は2個ですね。

では、n=16の場合は、5の素数が3個ですから下三桁が0がでしょう。
(1..16).inject(1){|s,n| s*n} //=>20922789888000
こちらも、***000で、連続する0は3個です。

まあここまでは、例示ですから数えたらおしまいですが、問題は
ある数 $n$ までに含まれる素数 $p$ の個数を求める方法は？

ですね。

　で、これについてはある整数sを素因数分解したときの素数 $p$ の個数を導出できる関数 $F(p,s)$ があるものと仮定して考えて見ます。
$F(3,9) = 2$ みたいな感じです。

$F(p, \prod_{k=1}^{p \cdot p -1} k) = p-1$
$F(p, \prod_{k=1}^{p \cdot p} k) = p+1$

　この辺は上記の素因数分解表で、素数3の場合を見ると確認できます。8までに含まれる素数3の数は2個ですが、9までに含まれる素数は4個ですね。
まあ、 $p,2p,3p,\codts,pp$ ですから、 $p^2$ の時点で素数 $p$ の数が $p+1$ 個は自明ですね。
じゃあ、 $p^3$ までには、上記の $p,2p,3p,\cdots,pp$ のセットがp個あるから $p(p+1)+1$ 個で
お次は、 $p^4$ までには、上記の $p,2p,3p,\cdots,pp$ のpセットがp個あるから $p(p+1)+1$ 個で
または、 $p^5$ までには、上記の $p,2p,3p,\cdots,pp$ のppセットがp個あるから $p(p(p+1)+1)+1$ 個か
そのまた、次はって、どないせいちゅうねん( ﾟДﾟ)∂ボケ

って、感じで考えてたけど、上手い証明思いつかない。やだ、もう寝る(・_・、)