ファインマン物理補講、その１修正１

数学 物理 読書

　ファインマン物理補講、その１ - 会者定離で以降において、 f(x) = \cdot \cdot \cdotの関数の微分を、 \frac{f(x)}{dt} = \cdot \cdot \cdotとか、書いていていましたが、「変数xの関数の微分にdtを用いているのは変だよ」のとご指摘を受けました。

はい、私の記述ミスですm(_ _)m

正しくは、っていうか引用元の表記は下記の通りです。 

 f = k \cdot u^a \cdot v^b \cdot w^c \cdot \cdot \cdot

 \frac{df}{dt} = f \cdot \left( a \frac{du/dt}{u} + b \frac{dv/dt}{v} + c \frac{dw/dt}{w} + \cdot \cdot \cdot\right)

　後、同様の方に対数使えば、もっと簡単に証明できるよと助言を頂きました。
「確かに、対数使うほうがシンプルかも」ってことで。

で、ここで問題になるのが対数ですが、ちょっと簡単に復習です。

通常、指数対数でセットの概念ですが、たとえば、以下の形式で指数が表されうる場合

x = a^p

それに対応する対数は以下の形式で表記します。

 \log_a{x} = p

以下aを底、xを真数、pを対数*1と呼ぶとします。

指数に対する対数の操作としては、底が aの場合での指数に対する逆関数*2とも言えますね。


指数と対数の相互変換としては、以下をイメージすると変換しやすいです。

[tex: \begin{eqnarray} x = a^p  &\to& \log_a(x) = \log_a(a^p) \\ &\to& \log_a(x) = p\log_a(a) \\ &\to& \log_a(x) = p &\to& a^{\log_a(x)} = a^p \\ && &\to& T.B.D = a^p && \\ && &\to& x = a^p &\to&  \cdot \cdot \cdot \end{eqnarray} ]

　指数形式から、対数形式へ、そしてまた指数形式に変換が上記でイメージできる*3と思います。
で、上記の式で以下の二つの変換。

 \log_a{a^p} \to p\log_a{a}
 a^{\log_a{x}} \to x

が、成り立つことを思考。



    
 \log_a{a^p} \to p

    真数の指数の展開について考えて見ます。

まず x = \log_a{a}について、
これの指数形式はa = a^xとなります。
当たり前ですがx = 1ですね。

以下、検算
 \begin{eqnarray} x = \log_a(a) &\to& a = a^x &\to& x = 1 \\ x = \log_a(aa) &\to& aa = a^x &\to& x = 2 \\ x = \log_a(aaa) &\to& aaa = a^x &\to& x = 3 \\ x = \log_a(aaaa) &\to& aaaa = a^x &\to& x = 4 \end{eqnarray}
と、こんな感じ。






    
 \log_a{b^p} \to p\log_a{b}

    折角なんで、「底と被冪数が一致しない」真数の指数の展開についても見当。
 \begin{eqnarray} x = \log_a(b) &\to& b = a^{x} &\to& x = \log_a(b) \\ 2x = \log_a(bb) &\to& bb = a^{x}a^{x} &\to& 2x = 2\log_a(b) \\ 3x = \log_a(bbb) &\to& bbb = a^{x}a^{x}a^{x} &\to& 3x = 3\log_a(b) \\ 4x = \log_a(bbbb) &\to& bbbb = a^{x}a^{x}a^{x}a^{x} &\to& 4x = 4\log_a(b) \end{eqnarray}
まあ、証明としてはグダグダですけど＾＾

上記、反復の証明で、 \log_a{b^p} \to p\log_a{b}が分かりましたね。
ついでに他の基本公理も証明してしまいましょう。





    
 \log_a{BP} \to ?

    ちょっとひねって真数の積の場合 x = \log_a{BP}は、どうするか。
 x = \log_a{BP} \to BP  = a^x
ここで、
 B = a^b
 P = a^p
で、変換を最初の式に適用する。

 x = \log_a{a^ba^p} \to a^ba^p  = a^x \to a^ba^p  = a^{b+p} \to b+p = \log_a{BP}

となることは、自明である、で続き。

 b = \log_a{B}
 p = \log_a{P}

なんだから、

 b+p = \log_a{B}+\log_a{P} = \log_a{BP}





    
 \log_a{\frac{B}{P}} \to ?

    お次は真数の商の場合 x = \log_a{\frac{B}{P}}は、
って \log_a{BP} = \log_a{B}+\log_a{P}の証明から

 b-p = \log_a{B}-\log_a{P} = \log_a{\frac{B}{P}}

って所でしょうか。



ふぅ〜ε=(￣｡￣;)

ごちゃごちゃな説明に成っちまったぜ(￣ー+￣)キラ





    
 a^{\log_a{x}} \to x

     \log_a{a^p} \to pは、まだイメージしやすかったが、
 a^{\log_a{x}} \to xはなかなかどうして、ん〜o(￣ー￣；)ゞううむ


眠いので一寸保留ｗ；

*1:じゃあ指数x = a^pでは、aを底、xを指数、pを乗数、冪数となる？ん〜どう呼ぶんだろう(。ヘ°)？

*2:逆像

*3:T.B.Dの所に何かいい記述無いかな？