ファインマン物理補講、その２修正１

数学 物理 読書

　ファインマン物理補講、その１修正３ - 会者定離で以降まで長々と指数対数についてやって着ましたけど、いざ証明です。ってなにの証明か皆さん覚えてますかｗ；

 f = k \cdot u^a \cdot v^b \cdot w^c \cdots

 \frac{df}{dt} = f \cdot \left( a \frac{du/dt}{u} + b \frac{dv/dt}{v} + c \frac{dw/dt}{w} + \cdots \right)


これですよ、これ。思い出しましたね(≧ω≦)b



　の前にファインマン物理補講、その２ - 会者定離で以降で証明した４つの公理のうち積の微分およびその一般系の微分を「ライプニッツ則」*1というようです＼(＾o＾)／

これのことです。


 \frac{d(uv)}{dx} = \frac{du}{dx}g+f\frac{dv}{dx}


で、その一般系として、


 \frac{duvw \cdots }{dx} = uvw \cdots \left( \frac{du/dx}{u} + \frac{dv/dx}{v} + \frac{dw/dx}{w} + \cdots \right) 


を導出しましたけど、さらに


 \frac{d^n(uv)}{dx^n} = \sum_{i=0}^n {n \choose i}u^{(n-i)}v^{(i)}.


と言う形式に出来るようです。

どうやらライブニッツの数学知識の片鱗*2を一連の証明で得れたようです。


　まあそれは置いておいて、以下の４つの公理と

    

  •  \frac{d}{dx}c = 0
    • 

  •  \frac{d(f+g)}{dx} = \frac{df}{dx}+\frac{dg}{dx}
    • 

  •  \frac{d(fg)}{dx} = \frac{df}{dx}g+f\frac{dg}{dx}
    • 

  •  \frac{dx^n}{dx} = nx^{n-1}
    •

ファインマン物理補講、その１修正１ - 会者定離で以降で証明した指数対数の公理をつかって

 f = k \cdot u^a \cdot v^b \cdot w^c \cdot \cdot \cdot

 \frac{df}{dt} = f \cdot \left( a \frac{du/dt}{u} + b \frac{dv/dt}{v} + c \frac{dw/dt}{w} + \cdot \cdot \cdot\right)

解いていきましょう。


    
 f = k \cdot u^a \cdot v^b \cdot w^c \cdotsの微分

    
で、最初に両辺を対数に変換です。


 \begin{eqnarray} \log{(f)} &=& \log{(k \cdot u^a \cdot v^b \cdot w^c \cdots)} \\ &=& \log(k) + \log(u^a) + \log(v^b) + \log(w^c) \cdots \\ &=& \log(k) + a\log(u) + b\log(v) + c\log(w) \cdots \end{eqnarray} 


で、両辺を微分してやると、


 \log{(f)}' = \log(k)' + a\log(u)' + b\log(v)' + c\log(w)' \cdots  *3


\log(k)は定数ですから\log(k)' = 0で


 \frac{1}{f}f' = a\frac{1}{u}u' + b\frac{1}{v}v' + c\frac{1}{w}w' \cdots  


両辺にfをかけてやり


 f' = f\cdot(a\frac{1}{u}u' + b\frac{1}{v}v' + c\frac{1}{w}w' \cdots)  


で、証明完了。



上記式を一寸整形してやると

 f' = f\cdot(a\frac{u'}{u} + b\frac{v'}{v} + c\frac{w'}{w} \cdots)  

はい、完了でう。


...(・＿・ )( ・＿・)


　と言いたいんですけど、対数で微分するとなると一つ公理が抜けていたのでそれをまず追加しなくちゃですね。
抜けていたのは、合成関数の微分*4についてなのですが、まあまた今度で＾＾

*1:基本公式から証明した一般系に名前があったので一寸うれしかっただけです, (〃∇〃)

*2:17世紀ですから現代までは、まだまだ先は長いですね＾＾

*3:めんどくさいので微分を\frac{df}{dt}でなく、f'を用います

*4:抜けていたってより証明が面倒っぽかたので無視しました