ファインマン物理補講、その２

数学 物理 読書

前回証明した４つの公理

    

  •  \frac{d}{dx}c = 0
    • 

  •  \frac{d(f+g)}{dx} = \frac{df}{dx}+\frac{dg}{dx}
    • 

  •  \frac{d(fg)}{dx} = \frac{df}{dx}g+f\frac{dg}{dx}
    • 

  •  \frac{dx^n}{dx} = nx^{n-1}
    •

を用いて、ファインマン流　物理がわかるコツで紹介されていた下記の公式を証明してみる。

    

  •  f(x) = k \cdot u^a \cdot v^b \cdot w^c \cdot \cdot \cdot
    • 



    

  •  \frac{df(x)}{dt} = f \cdot \left( a \frac{du/dt}{u} + b \frac{dv/dt}{v} + c \frac{dw/dt}{w} + \cdot \cdot \cdot\right)
    •


　まず、 f(x) = k \cdot u^a \cdot v^b \cdot w^c \cdot \cdot \cdotは、n次関数の積の形なのでその辺りからやってみましょう。

最初に、積の微分を発展。

 \frac{d(uV)}{dx} = \frac{du}{dx}V+u\frac{dV}{dx}

 V = vW

 \begin{eqnarray} \frac{d(uvW)}{dx} &=& \frac{du}{dx}vW+u\frac{dvW}{dx} \\&=& \frac{du}{dx}vW+u\frac{dv}{dx}W+uv\frac{dW}{dx} \end{eqnarray}


 W = wX

 \begin{eqnarray} \frac{d(uvwX)}{dx} &=& \frac{du}{dx}vwX+u\frac{dv}{dx}wX+uv\frac{dwX}{dx} \\&=& \frac{du}{dx}vwX+u\frac{dv}{dx}wX+uv\frac{dw}{dx}X+uvw\frac{dX}{dx} \end{eqnarray}

で、上記の展開が成り立つなら、以下の一般系が得られる。

 f(x) = uvw \cdot \cdot \cdot

 \begin{eqnarray} \frac{duvw \cdot \cdot \cdot}{dx} &=& \frac{du}{dx}vw \cdot \cdot \cdot + u\frac{dv}{dx}w \cdot \cdot \cdot + uv\frac{dw}{dx} \cdot \cdot \cdot + \cdot \cdot \cdot \\&=& uvw \cdot \cdot \cdot \left( \frac{du/dx}{u} + \frac{dv/dx}{v} + \frac{dw/dx}{w} + \cdot \cdot \cdot \right) \end{eqnarray}

次に、この一般系の各関数がa,b,c乗の場合。

 \begin{eqnarray} \frac{df}{dx} &=& f \left( \frac{du^a/dx}{u^a} + \frac{dv^b/dx}{v^b} + \frac{dw^c/dx}{w^c} + \cdot \cdot \cdot \right) \\&=& f \left( \frac{au^{a-1}}{u^a} + \frac{bv^{b-1}}{v^b} + \frac{cw^{c-1}}{w^c} + \cdot \cdot \cdot \right) \end{eqnarray}

って、あれ詰まったo(￣ー￣；)ゞううむ