ファインマン物理補講、その１

数学 物理 読書

　なんか最近はプログラミングへの情熱が湧いてこないです。、
まあ、考え込んでも仕方ないので、ちょっとプログラミングから離れてを変えて
折角なんで基礎固めと「数学、物理」を勉強です。


で、物理のバイブルといえばファインマン物理学ですが、

あれ全五巻だし、お値段も一寸お高いって事で、

「ファインマン流　物理がわかるコツ」*1を読んでました。

最初一寸微妙かなと思いもしましたが、読んでみると結構面白いです。


　で、ちょっと気になったのがファインマンが微分の強力な手法として紹介している
以下の関数fの導関数導出方法。

 f(x) = k \cdot u^a \cdot v^b \cdot w^c \cdot \cdot \cdot

 \frac{df(x)}{dt} = f \cdot \left( a \frac{du/dt}{u} + b \frac{dv/dt}{v} + c \frac{dw/dt}{w} + \cdot \cdot \cdot\right)

導出方法が分からんので、ちょっと考えてみます。


一先ず、微分について基本復習。


微分導出として、以下の極限。

\frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

で、幾つか復習。

f(x) = ax + b
g(x) = cx + d 

　まず基本。一階微分可能関数。

 \begin{eqnarray}\frac{df}{dx} &=& \lim_{h \to 0}\frac{(a(x+h)+b)-(a(x)+b)}{h} \\&=& \lim_{h \to 0}\frac{(ax+ah+b-ax-b)}{h} \\&=& \lim_{h \to 0}\frac{ah}{h} \\ &=& a \end{eqnarray}

　定数cが消える事を、確認。
 \frac{d}{dx}c = 0

　次、和の関数の微分。
 \begin{eqnarray}\frac{d(f+g)}{dx} &=& \lim_{h \to 0}\frac{(f(x+h)+g(x+h))-(f(x)+g(x))}{h} \\&=& \lim_{h \to 0}\frac{(f(x+h)-f(x)+g(x+h)-g(x))}{h} \\&=& \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} + \lim_{h \to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h} \\ &=& a+c \end{eqnarray}

　関数fと関数gの和の微分は、
関数fの微分と関数gの微分の和である事を確認。
 \frac{d(f+g)}{dx} = \frac{df}{dx}+\frac{dg}{dx}

　次、積の関数の微分。

 \begin{eqnarray}\frac{d(fg)}{dx} &=& \lim_{h \to 0}\frac{(f(x+h)g(x+h))-(f(x)g(x))}{h} \\&=& \lim_{h \to 0}\frac{(f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x))}{h} \\&=& \lim_{h \to 0}\frac{(f(x+h)(g(x+h)-g(x))+(f(x+h)-f(x))g(x))}{h} \\&=& \lim_{h \to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}f(x+h)+\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x) \\ &=& c(ax+b)+a(cx+d) \end{eqnarray}

　関数fと関数gの積の微分は、
関数fの微分と関数gの積に関数gの微分と関数fの積の和である事を確認。
  \frac{d(fg)}{dx} = \frac{df}{dx}g+f\frac{dg}{dx}

　最後は、積の関数の微分の発展。
 \frac{dx}{dx} = 1
 \begin{eqnarray} \frac{dxx}{dx} &=& \frac{dx}{dx}x+x\frac{dx}{dx} \\&=& 2x \end{eqnarray}
 \begin{eqnarray} \frac{dx^2x}{dx} &=& \frac{dx^2}{dx}x+x^2\frac{dx}{dx} \\&=& 3x^2 \end{eqnarray}
 \begin{eqnarray} \frac{dx^3x}{dx} &=& \frac{dx^3}{dx}x+x^3\frac{dx}{dx} \\&=& 4x^3 \end{eqnarray}

の形で、展開できる。で、これは、以下の形式。
 \begin{eqnarray} \frac{dXx}{dx} &=& \frac{dX}{dx}x+X\frac{dx}{dx} \\&=& \frac{dX}{dx}x+X \end{eqnarray}

　で、この刑式より、 x^nの微分は
一つしたの次数 X = x^{n-1}と、
一つしたの次数の微分とxの積の \frac{dX}{dx}xになる。

これより、以下が言えそうだが上手い証明になってないなｗ；

 \frac{dx^n}{dx} = nx^{n-1}

まあ、一先ず保留*2。


上記より、まずは下記の４つの公理を証明。

    

  •  \frac{d}{dx}c = 0
    • 

  •  \frac{d(f+g)}{dx} = \frac{df}{dx}+\frac{dg}{dx}
    • 

  •  \frac{d(fg)}{dx} = \frac{df}{dx}g+f\frac{dg}{dx}
    • 

  •  \frac{dx^n}{dx} = nx^{n-1}
    •

*1:ファインマンが、「カクテルの新入生で授業についていけない平均以下の学生向けに行った補講資料等」がベースの書籍らしい

*2:物理屋さんは、細かい証明なんて気にしない^^